...Depurar...
They constitute the group $O(n)$, called orthogonal group. See orthogonal and special orthogonal groups for the general signature.
Son las isometrías de $\mathbb{R}^n$ que dejan fijo $O$. Son aplicaciones lineales (ver \cite{stilwell} página 37, ejercicios). Se puede demostrar también (ver \cite{stilwell} página 37) que cualquiera de sus elementos es el producto de menos de $n$ reflexiones.
It is satisfied that
$$ O(n)=S O(n) \times \mathbb{Z}_2. $$where $SO(n)$ are $n$-dimensional rotations and $\mathbb{Z}_2$ corresponds to reflections.
On the other hand,
$$ dim SO(n)=\frac{1}{2}n (n-1) $$(ways of choosing two axis out of $n$). It is not a normal subgroup.
Son las rotaciones del plano. Se puede ver como los números complejos de módulo 1 o como el subgrupo de matrices de la forma:
$$ \left( \begin{array}{cc} cos(\theta) & -sin(\theta)\\ sin(\theta) & cos(\theta) \\ \end{array} \right) $$It's an abelian group, so every subgroup is normal. It has lots of finite subgroups (rotations of regular polygons).
Es el grupo de matrices 3x3 ortogonales, es decir, tales que $A \cdot A^t=I$. Su determinante puede ser 1 o -1. Constituyen las transformaciones de $\mathbb{R}^3$, visto como espacio vectorial con una base ortonormal, que no cambian ni las distancias ni los ángulos, es decir, que conservan el producto escalar. Es decir: las aplicaciones lineales de $\mathbb{R}^3$ en $\mathbb{R}^3$ que conservan el producto escalar, al expresarlas en una base ortonormal, dan lugar a una matriz ortogonal. Son los giros y las simetrías (y sus composiciones).
It is not a connected space. The component which contains the identity is SO(3).
The Lie algebra is the set of skew-symmetric matrixs (see SO(3)#And what about the Lie algebra so 3).
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Author of the notes: Antonio J. Pan-Collantes
INDEX: